判断系统稳定性的方法主要包括时域分析法和频域分析法。以下是这些方法的详细解释和例题解析：

时域分析法

时域分析法通过观察系统的冲激响应或阶跃响应来判断其稳定性。

直接观察法

如果系统的冲激响应或阶跃响应在时间趋于无穷大时都趋于零或有界，则系统稳定。

特征根法

对于线性时不变（LTI）系统，可以通过求解系统传递函数的极点（即特征方程的根）来判断稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半平面，则系统稳定。

例题解析：

假设有一个连续系统的传递函数为 $H（s） = \frac{1}{s^2 + 2s + 1}$。

1. 找出传递函数的极点，即解方程 $s^2 + 2s + 1 = 0$，得到 $s_1 = s_2 = -1$。

2. 由于所有极点都位于复平面的左半平面（实部小于零），因此根据特征根法，这个系统是稳定的。

频域分析法

频域分析法利用系统的频率响应函数来判断其稳定性。

奈奎斯特判据

通过系统的传递函数，在复平面上绘制其极点图。如果所有极点都位于单位圆内，则系统稳定。

波特图

幅值裕度：系统开环频率特性相位为 -180° 时（穿越频率），其幅值倒数 $K$，意义为闭环稳定系统，如果系统的开环传递系数再增大 $K$ 倍，系统临界稳定。

相位裕度：系统开环频率特性的幅值为 1 时（截止频率），其相位与 180° 之和。意义为：闭环稳定系统，如果系统开环频率特性再滞后 $r$，系统进入临界稳定。

例题解析：

给定连续系统的传递函数 $H（s） = \frac{1}{s^2 + 2s + 1}$。

1. 将传递函数转化为标准形式，即 $H（s） = \frac{1}{（s+1）^2}$。

2. 找出传递函数的极点，即解方程 $（s+1）^2 = 0$，得到极点为 $s = -1$（重根）。

3. 由于所有极点都位于复平面的左半平面（实部小于零），因此该系统是稳定的。

其他方法

李雅普诺夫方法

这是一种更为严谨的数学方法，通过构造李雅普诺夫函数并判断其导数的符号，来判定系统的稳定性。适用于非线性系统以及难以直接通过时域或频域分析判断稳定性的系统。

劳斯判据

判定多项式方程在 $S$ 平面的右半平面是否存在根的充要判据。特征方程具有正实部根的数目与劳斯表第一列中符号变化的次数相同。

综合判据

结合时域和频域分析，通过观察系统的冲激响应、阶跃响应、频率响应函数等，综合判断系统的稳定性。

通过以上方法，可以系统地判断一个系统的稳定性。在实际应用中，可以根据具体问题的特点和需求选择合适的方法进行分析和判断。