网络游戏的审批主要由国家新闻出版署负责。根据最新的信息，国家新闻出版署在2025年1月、2024年11月和2024年12月均发布了游戏审批信息，显示了其在网络游戏审批中的核心作用。此外，虽然文化和旅游部不再承担网络游戏行业管理职责，但国内游戏行业的管理还涉及中宣部、工信部和网信办等其他部门，其中中宣部和工信部属于前置审批部门，需要拿到这两个部门发的证和资质（如版号、文号、ICP等）才能运营游戏。

综上所述， 国家新闻出版署是主要负责网络游戏审批的部门，而其他部门如中宣部、工信部、网信办等则根据各自职责参与游戏行业的管理和监督。